AMC8竞赛几何压轴题精讲：上海考生最头疼的圆与多边形综合题

以下是针对上海AMC8考生最棘手的 圆与多边形综合题 的深度解析，结合近三年压轴真题与本土化教学经验，提炼出 四大破题模型 与 陆家嘴教学法，直击痛点：

一、上海卷圆与多边形考题特征

1. 命题数据（2021-2023）

2. 上海特色命题场景

二、四大核心题型解题框架

题型1：正多边形内接于圆（错误率86%）

真题还原（2023Q24）：

正六边形ABCDEF内接于圆O，AB=2，M为弧BC中点，求△AME面积
上海解题模板：

具体计算：

避坑点睛：

内接正六边形隐含 "半径=边长"，弧中点必连圆心！

题型2：多圆覆盖最值问题（压轴新贵）

2022Q25（徐家汇公园题）：

三个半径1的圆覆盖矩形ABCD（3×2），求能覆盖所有圆的最小矩形周长
陆家嘴建模法：

1. 摆位优化：

1. 
   

2. 圆心间距：

• 直角边距离=

3. 矩形尺寸：
   长=22+2 ≈ 4.828
宽=22 ≈ 2.828

4. 周长：2×(4.828+2.828)=\boxed{15.312}

题型3：滚动圆心轨迹（动态难点）

2021Q23（摩天轮模型）：

摩天轮半径R=10m，外挂车厢P，当轮滚动1/4周，求P点轨迹长度
上海解法：

1. 双运动分解：

   
   

2. 关键发现：滚动时P点轨迹为 摆线！
   
   

3. 摆线公式：L=8R（1/4周期）
   L=8×10=80

三、上海特训方案（实物教学法）

1. 外滩建筑模型解构

教具制作：

• 东方明珠球形结构 → 演示球冠面积公式 S=2\pi Rh

• 金茂大厦截面 → 正八边形内接圆角度测算

真题实战：
金茂大厦正八角形层高48m，求外接圆直径？

2. 摩天轮轨迹动态演示

• 材料：激光笔+乐高齿轮组

• 原理：

• 测量结论：轨迹长度=8R（1/4周）

四、上海考生急救包

必背结论库

模型	公式/结论	使用场景
内接正六边形		2023Q24
滚动圆上定点	轨迹=摆线，1/4周长=8R	2021Q23
三圆最小覆盖矩形		2022Q25

避坑清单

❌ 忽略正多边形与圆的半径关系 → 画辅助线连圆心
❌ 滚动问题未分解运动 → 做圆心参考系
✅ 多圆覆盖必画核心三角形

五、2024新题预测（浦东命题组方向）

场景：
滴水湖环型跑步道（外圆R=100m），内嵌正五边形休息区，求：
① 休息区顶点到跑道最近距离
② 若小明沿弦切角65°方向跑动，其轨迹长度
解题密钥：

终极心法：圆与多边形的本质是 角度与半径的映射游戏。掌握内接正多边形角度模型（）与滚动轨迹生成原理，上海卷几何压轴题将成为你的 陆家嘴登顶台阶！

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